Thèse Calcul des Variations dans les Espaces Métriques Mesurés Relaxation Homogénéisation et Régularité H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Nîmes Université École doctorale : Risques et Société Laboratoire de recherche : Mathématiques, Informatiques, Physique et Applications Direction de la thèse : Omar ANZA HAFSA ORCID 0009000094024350 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-30T23:59:59 Les espaces métriques mesurés offrent un cadre naturel pour modéliser les structures élastiques de faible dimension (poutres, membranes, coques) dont une ou plusieurs dimensions sont négligeables. Le support d'une mesure de Radon positive représente le placement de la structure, soumise à des efforts extérieurs et des conditions aux limites. Les états d'équilibre minimisent l'énergie élastique, et les méthodes de -convergence permettent de traiter les cas sans solution classique via des problèmes relaxés équivalents.
Si le cadre convexe et euclidien est aujourd'hui bien établi, le cadre non convexe et non euclidien, développé notamment au laboratoire MIPA de Nîmes Université a introduit de nouveaux concepts : quasiconvexité spécifique aux cadres des espaces métriques mesurés (voir [3]), théorèmes sous-additifs, premières formulations de l'homogénéisation dans ce contexte (voir [1] et [4]). Ce projet vise à approfondir ces travaux selon trois axes.
1. Relaxation non convexe. La modélisation des structures de faible dimension en contact ou en jonction pose des difficultés liées à l'hypothèse de mesure doublante. Travailler dans des espaces euclidiens munis d'une mesure de Radon positive permet de s'affranchir de cette contrainte. L'objectif est de développer des théorèmes de relaxation [1,2], et d'aborder la réduction de dimension par -convergence dans ce cadre.
2. Homogénéisation dans les espaces métriques mesurés. L'homogénéisation produit des modèles effectifs pour des matériaux hétérogènes à microstructure périodique ou aléatoire. Son extension aux espaces métriques mesurés reste peu explorée, l'absence de translations et dilatations naturelles constituant la principale difficulté. Certains espaces non euclidiens dotés de telles structures offrent un terrain privilégié. Au-delà du cadre périodique, l'homogénéisation stochastique, fondée sur des théorèmes ergodiques sous-additifs [4], constitue une direction naturelle en lien direct avec les travaux déjà menés à MIPA.
3. Régularité des minimiseurs. La régularité en calcul des variations vectoriel est un domaine classique en cadre euclidien, illustrée par les travaux de Giusti et Giaquinta. Sa transposition aux espaces métriques mesurés est largement ouverte, en s'appuyant sur les notions de différentiabilité de Cheeger et d'espaces de Cheeger-Sobolev. Les espaces métriques mesurés modélisent naturellement les structures élastiques de faible dimension (poutres, membranes, coques), dont l'étude relève de l'élasticité non linéaire. Le cadre euclidien est bien établi. Le cadre non convexe et non euclidien, développé au laboratoire MIPA de Nîmes Université, a introduit des concepts nouveaux : quasiconvexité spécifique aux espaces métriques mesurés, semi-continuité inférieure et représentation intégrale dans les espaces de Cheeger-Sobolev [2, 3], théorèmes sous-additifs et premières formulations de l'homogénéisation [1, 4]. Ces travaux constituent le point de départ du projet. Objectifs : Développer le calcul des variations dans un cadre non convexe et vectoriel dans les espaces métriques mesurés, selon trois axes : (1) Relaxation dans les espaces de Cheeger-Sobolev ; (2) homogénéisation dans des espaces métriques non euclidiens ; (3) régularité des minimiseurs.
Les méthodes principales sont celles du calcul des variations moderne : -convergence, représentation intégrale des fonctionnelles, espaces de Cheeger-Sobolev, théorèmes de recouvrement. Pour l'homogénéisation stochastique, on s'appuiera sur les théorèmes ergodiques sous-additifs adaptés aux actions de groupe. Pour la régularité, les outils sont ceux de la différentiabilité au sens de Cheeger.

Le candidat devra être titulaire d'un master 2 en mathématiques pures ou appliquées, avec une formation solide en analyse mathématique. Les compétences suivantes sont souhaitées : une bonne maîtrise des espaces de Sobolev, de la méthode directe du calcul des variations, et idéalement une première exposition aux méthodes de -convergence ou de relaxation. Une bonne connaissance de la théorie de la mesure, de l'intégration et des probabilités.